作者：本質(zhì)教育 魏旭東
本質(zhì)教育高考數(shù)學(xué)破題解析開(kāi)課啦?。?！
每周一、三、五更新新篇，將會(huì)從18年高考開(kāi)始，致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個(gè)擊破。
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數(shù)學(xué)三招：翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)
翻譯：我們遇到中文的時(shí)候，往往需要把它們“翻譯”為數(shù)學(xué)的語(yǔ)言。大家常 常聽(tīng)到的“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標(biāo)，幾何可以“翻譯”為代數(shù)，代數(shù)也可以“翻譯”為幾何。
特殊化：簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是用具體的簡(jiǎn)單數(shù)字代替變量（更進(jìn)一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開(kāi)始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來(lái)幫助我們真正理解題目，理解每一個(gè)已知數(shù)、條件的作用。我們有時(shí)需要借助特殊化的結(jié)論，有時(shí)則可以利用其方法。
盯住目標(biāo)：即根據(jù)題目，試著聯(lián)想相關(guān)的定理、定義、方法，并運(yùn)用之，試著把已知，條件（前提）和目標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，不斷地通過(guò)置換目標(biāo)來(lái)改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結(jié)論）之間構(gòu)建橋梁，問(wèn)問(wèn)自己，我們還有什么已知但沒(méi)有使用嗎？
三招的概念雖然簡(jiǎn)單易懂，但是如果要熟練運(yùn)用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)
2018.11.21更新
（過(guò)于簡(jiǎn)單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）
2018北京卷
試卷第20題
設(shè)n為正整數(shù)，集合A={α|α=(??),?
?∈{0,1},k=1,2,……,n}，對(duì)于集合A中的任意元素α={?
?}和β={?
?}，記M(α,β)=?
[(??)+(?
?)+……+(?
?)]
(Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí)，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；
(Ⅱ)當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素αβ，當(dāng)αβ相同時(shí)，M(α,β)是奇數(shù)，當(dāng)αβ不同時(shí)，M(α,β)是偶數(shù)，求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；
(Ⅲ)給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素α,β，M(α,β)=0，寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.
三招破題
（1）盯住目標(biāo)：我們是要求值，怎么求呢，發(fā)現(xiàn)所給的兩個(gè)函數(shù)均是與題中所給條件是相關(guān)的，所以我們仔細(xì)審題，發(fā)現(xiàn)求M的方法即可。
M即坐標(biāo)之和與坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，求和后再求半值，然后n次相加即可得到答案。我們盯住目標(biāo)，n=3，三維坐標(biāo)，我們將題中所給計(jì)算式特殊化，
得，M(α,α)=??[(1+1-0)+(1+1-0)+(0+0-0)]=2,同理可得M(α，β)=1. 至此，我們可以發(fā)現(xiàn)第一問(wèn)就是盯緊目標(biāo)，根據(jù)題圖所給條件進(jìn)行特殊化，細(xì)心計(jì)算即可。
（2）盯住目標(biāo)：我們要求B中元素個(gè)數(shù)的最大值，而最大值怎么產(chǎn)生呢，肯定是你把滿足條件的元素寫出來(lái)，看看最多能有多少個(gè)，它就是最大值。根據(jù)第二小問(wèn)給的條件，再結(jié)合題干給的條件，我們仔細(xì)思考，n=4時(shí)，集合A有24=16個(gè)元素。
根據(jù)二問(wèn)條件，我們將文字翻譯一下，即α=β={x1,x2,x3,x4}，此時(shí)M(α,β)=x1+x2 +x3+x4，再注意審題，集合中的元素不是0就是1，所以x1,x2,x3,x4中我們要讓這四個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，必然它們中是3個(gè)“0”和1個(gè)“1”或1個(gè)“0”，3個(gè)“1”，所以運(yùn)用排列組合的知識(shí)我們知道有8種組合；
這時(shí)千萬(wàn)不要忘了還有第二個(gè)條件，α≠β時(shí)，同樣我們將條件翻譯，計(jì)算M，我們發(fā)現(xiàn)在3個(gè)“0”和1個(gè)“1”這種情況里單獨(dú)取任意α、β時(shí)，M(α,β)為偶數(shù)，同樣在1個(gè)“0”，3個(gè)“1”情況里單獨(dú)取任意α、β時(shí)，M(α,β)也為偶數(shù)，我們寫到這里其實(shí)還沒(méi)有完，我們?nèi)砸紤]在兩種情況中我們各取一個(gè)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證兩種情況里分別取一個(gè)α和一個(gè)β時(shí)，如取α、β分別為{0,0,1,0}和{1,1,1,0}時(shí)，計(jì)算的M(α,β)是奇數(shù)，
（很多時(shí)候這里容易挖坑，不細(xì)心的同學(xué)容易忽略掉兩種情況各取一個(gè)，這個(gè)題雖然是不滿足條件的，但是平時(shí)我們做題時(shí)可千萬(wàn)不要忘記哦）所以我們只能單獨(dú)在3個(gè)“0”和1個(gè)“1”或1個(gè)“0”，3個(gè)“1”中取α、β，所以我們得出答案，集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4.
（筆者把思考過(guò)程全部寫了出來(lái)，我們?cè)诖痤}卡上其實(shí)只需要用簡(jiǎn)潔的文字?jǐn)⑹銮宄纯桑┲链?，總結(jié)一下第二問(wèn)，讀懂題目，將條件翻譯細(xì)心求解即可。
（做到這里相信各位同學(xué)已經(jīng)有點(diǎn)頭大了，全都是抽象思考，但是我們還是要盯住我們的目標(biāo)，我們的目標(biāo)是140分，我們不能放棄第三問(wèn)，我們要干掉它）
（3）盯住目標(biāo)：我們要寫出某個(gè)集合B，讓它的元素最多，怎么讓它的元素最多的，在這里我相信大部分人想破頭皮也想不出來(lái)這個(gè)最大是多大，所以我們應(yīng)該及時(shí)動(dòng)筆，加速試錯(cuò)，騎驢看戲，先下手為強(qiáng)。我們研究M(α,β)計(jì)算式中的一般項(xiàng)xi+yi -|xi-yi|，要讓M(α,β)=0，根據(jù)題目我們知道，集合中的每一個(gè)元素都只含0或1，而根據(jù)計(jì)算式我們可以看出，
?或?
?，又因?yàn)?
?∈{0,1}，從而如果我們要使M(α,β)=0，則計(jì)算式中的每一項(xiàng)都是0我們才能得出這個(gè)答案，我們進(jìn)一步計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這樣有兩種情況①?
?，?
?，②?
?，?
?.即我們計(jì)算的時(shí)候x和y中一個(gè)為0，另一個(gè)為1，所以再我們根據(jù)排列組合的知識(shí)，有
{1,0,0,……,0}
{0,1,0,……,0}
{0,0,1……,0}
……
{0,0,0,……,1}
再加上一個(gè){0,0,0,……,0}構(gòu)成集合B（這步很關(guān)鍵，注意取這個(gè)的時(shí)候也滿足x和y中一個(gè)為0，另一個(gè)為1），做到這里我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)考慮任意取α、β，我們一定可得出M(α,β)=0，所以我們寫出的上述集合B，共n+1個(gè)元素，最后我們?cè)偃∫粋€(gè)在A里但在B外的元素γ,M(γ,??)=1，不滿足條件，所以此時(shí)我們無(wú)法找出比n+1更多的元素了，所以我們認(rèn)定我們寫出的集合B符合題意。
綜合看一、二、三問(wèn)，其實(shí)難度雖然在遞增，但是我們可以發(fā)現(xiàn)它是環(huán)環(huán)相扣的，做出第一小問(wèn)，我們可以為下面的小問(wèn)找到靈感，我們可以在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)計(jì)算的巧妙，也就是我們?cè)诘谝粏?wèn)以及第二問(wèn)中一步步地進(jìn)行特殊化，
從具體的數(shù)字計(jì)算中發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律和技巧，通過(guò)特殊化把抽象的東西一步步具體化，從而將第三問(wèn)解出來(lái)?？偟膩?lái)說(shuō)難度沒(méi)有那么夸張，我們要做的就是盯住每一問(wèn)我們要求解的是什么，根據(jù)第一、二問(wèn)的特殊化計(jì)算總結(jié)規(guī)律，最后把第三問(wèn)的抽象的題目解出來(lái)(緊盯B是A的子集這個(gè)條件)。
北京卷特別考驗(yàn)學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新解題能力，以及第三問(wèn)的自信的能力。
最后筆者想說(shuō)一句，北京卷遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有你想的這么簡(jiǎn)單！
(至此，2018北京卷的分析結(jié)束了)
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