數(shù)學(xué)三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.11.19

作者：本質(zhì)教育 魏旭東

本質(zhì)教育高考數(shù)學(xué)破題解析開課啦！??！

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學(xué)生沖刺高考數(shù)學(xué)的140+。

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數(shù)學(xué)三招：翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)

翻譯：我們遇到中文的時候，往往需要把它們“翻譯”為數(shù)學(xué)的語言。大家常 常聽到的“數(shù)形結(jié)合”實際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標(biāo)，幾何可以“翻譯”為代數(shù)，代數(shù)也可以“翻譯”為幾何。

特殊化：簡單來說，就是用具體的簡單數(shù)字代替變量（更進一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來幫助我們真正理解題目，理解每一個已知數(shù)、條件的作用。我們有時需要借助特殊化的結(jié)論，有時則可以利用其方法。

盯住目標(biāo)：即根據(jù)題目，試著聯(lián)想相關(guān)的定理、定義、方法，并運用之，試著把已知，條件（前提）和目標(biāo)聯(lián)系起來，不斷地通過置換目標(biāo)來改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結(jié)論）之間構(gòu)建橋梁，問問自己，我們還有什么已知但沒有使用嗎？

三招的概念雖然簡單易懂，但是如果要熟練運用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)

2018.11.19更新

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

2018北京卷

試卷第18題

設(shè)函數(shù)?f(x)=[ax^2-(4a+1)x+4a+3]e^x

（1）若曲線在y=f(x)在點（1,f(1)）處的切線與X軸平行，求a；

（2）若f(x)在x=2處取得最小值，求a的取值范圍。

三招破題

（1）翻譯：若曲線在y=f(x)在點（1,f(1)）處的切線與X軸平行?\rightarrow?此切線斜率為0，即f'(1)=0

所以我們只需要求出f'(1)看一看，

f'(x)=[ax^2-(2a+1)x+2]e^x?，?f'(1)=(-a+1)e=0

所以顯然直接根據(jù)這個式子我們可以求出

a=1?.

（2）翻譯：若f(x)在x=2處取得最小值，這句話可以翻譯出什么東西來？

首先我們考慮函數(shù)的定義域，顯然是R，則這里的最小值很可能是這個函數(shù)的極小值，那這個點是不是極小值點呢，我們只需要計算f'(2)看看即可。

根據(jù)第一問的結(jié)論，?f'(2)=(4a-4a-2+2)e^2=0?，那么，

x=2這個點確實也是極小值點。

那這個題邏輯就清楚了，這個點是極小值點，我們只需要根據(jù)在此點左右f'(x)的正負性，讓其滿足成為最小值點的條件即可，然后它肯定是與a有關(guān)的，那么目標(biāo)自然也就聯(lián)系上了。

極小值點如何成為最小值點，是不是在這個點的左邊，導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0，函數(shù)單調(diào)遞減，在這個點的右邊，導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，函數(shù)單調(diào)遞增，即可。

那么我們觀察導(dǎo)函數(shù)，判斷其正負性，顯然與?e^x?沒什么關(guān)系，那我們只需要討論前面部分，

那么，

我們令?g(x)=ax^2-(2a+1)x+2?，?g(2)=0

一個二次函數(shù)，怎么判斷其正負性，很顯然，而且我們的目標(biāo)是a，二次項系數(shù)也是a，

那自然聯(lián)想到從a下手，首先討論它是不是二次函數(shù)，

①a=0時，g(x)=-x+2，在x=2左邊是大于0的，顯然已經(jīng)不符合剛才我們上面的邏輯討論了，必須拋棄。

②a?\ne?0時，我們是不是二次函數(shù)還有兩個重要參數(shù)?\Delta=[-(2a+1)^2]-8a=(2a-1)^2\geq0?，對稱軸為?x=1+\frac{1}{2a}?，

即g(x)至少與x軸有一個交點，對稱軸也知道了。

我們接下來要做的是什么，是不是根據(jù)剛才的目標(biāo)，討論這個函數(shù)的正負性啊，那么顯然有一種特殊情況，它與x只有一個交點，恒正或恒負，此時不符合題意。

Ⅰ.?a=\frac{1}{2}?時，?\Delta=0?，f(x)此時單調(diào)遞增了，不符合題意。

那么接下來怎么討論，是不是要滿足在這個點的左邊，導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0，函數(shù)單調(diào)遞減，在這個點的右邊，導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，函數(shù)單調(diào)遞增。

這里筆者給出一張圖說明其中一種情況，剩下的同學(xué)們自己動手

那么是不是可能有兩種情況嘛，一是對稱軸在x=2右邊，二次函數(shù)開口向下；二是對稱軸在x=2左邊，二次函數(shù)開口向上。

Ⅱ. a<0且?1+\frac{1}{2a}>2?，無解；

Ⅲ. a>0且?1+\frac{1}{2a}<2?，此時?a>\frac{1}{2}?.

最后回想，這個題我還有什么地方?jīng)]有寫到嗎，回想我們的整個邏輯，嗯，完整，OK。

那么綜上，a>\frac{1}{2}.

（北京卷13分的導(dǎo)數(shù)題我們就這樣拿到手了）

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